Question

已知F₁、F₂是橢圓的左右焦點，點P是橢圓C上的動點．
（1）若橢圓C的離心率為，且的最大值為8，求橢圓C的方程；
（2）若△F₁PF₂為等腰直角三角形，求橢圓C的離心率．

Answer 1

解：（1）設橢圓C上的點P坐標為（x₀，y₀），可得=（-c-x₀，-y₀），=（c-x₀，-y₀），
∴=（-c-x₀）（c-x₀）+=+-c²
∵P是橢圓C上的點，滿足=b²（1-），且-a＜x₀＜a
∴=（1-）+b²-c²≤（1-）•a²+b²-c²=b²
所以，當且僅當=a²時，的最大值為b²=8，可得b=2
∵橢圓的離心率為，∴，可得a=c，b=c
∴c=2，a=2，橢圓C的方程是
（2）∵△F₁PF₂為等腰直角三角形，
∴①點P為直角頂點時，P必定是短軸頂點，
OP=F₁F₂=c，即b=c，=c，可得a²=2c²，即a=c
∴橢圓C的離心率e==
②當某焦點是直角頂點時，
2a=PF₁+PF₂=（1+）F₁F₂=（1+）×2c
∴橢圓C的離心率e====
綜上所述，該橢圓的離心率e=-1或．
分析：（1）設橢圓C上的點P坐標為（x₀，y₀），可得=+-c²，根據P是橢圓C上的點，滿足=b²（1-），且-a＜x₀＜a，所以=（1-）+b²-c²≤b²，當且僅當=a²時，的最大值為b²=8，根據橢圓的離心率為，可算出a²=12，從而得到橢圓C的方程；
（2）根據△F₁PF₂為等腰三角形，可得點P為直角頂點時，P是短軸頂點；P是銳角頂點時，長軸是焦距的1+倍．由此計算可得橢圓C的離心率．
點評：本題已知橢圓上一點P滿足數(shù)量積的最大值為8，且離心率已知的情況下求橢圓的方程，著重考查了平面向量的數(shù)量積和橢圓的基本概念等知識點，屬于基礎題．