Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=-4時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：

1

1 3 ln2+ 1 4

+

1

1 3 ln3+ 1 4

+

1

1 3 ln4+ 1 4

+…+

1

1 3 lnn+ 1 4

≥

(5n+8)(n-1)

(n+1)(n+2)

（n≥2，n∈N）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=-4時，f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0．f′（x）=

2(x+2)(x-1)

x

，由此能求出f（x）的極小值．
（Ⅱ）由f（x）=x²+2x+alnx（a∈R），知f′（x）=

2x2+2x+a

x

，設g（x）=2x²+2x+a，由函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，能求出實數(shù)a的取值范圍．
：（Ⅲ）由（I）得，當x≥1時，f（x）=x²+2x-4lnx≥3，即x²+2x≥4lnx+3＞0，即

1

4lnx+3

≥

1

x2+2x

，即

1

4lnn+3

≥

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），進而利用裂項相消法，可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當a=-4時，f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0
f′（x）=

2(x+2)(x-1)

x

，
令f′（x）=0，得x=-2（舍），或x=1，
列表，得

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

∴f（x）的極小值f（1）=1+2-4ln1=3，
∵f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0只有一個極小值，
∴當x=1時，函數(shù)f（x）取最小值3．
（Ⅱ）∵f（x）=x²+2x+alnx（a∈R），
∴f′（x）=

2x2+2x+a

x

，（x＞0），
設g（x）=2x²+2x+a，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥0，或a≤-4}．
證明：（Ⅲ）由（I）得，當x≥1時，f（x）=x²+2x-4lnx≥3，
∴x²+2x≥4lnx+3＞0，
∴

1

4lnx+3

≥

1

x2+2x

，
∴

1

4lnn+3

≥

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴

1

4ln2+3

+

1

4ln3+3

+

1

4ln4+3

+…+

1

4lnn+3

≥

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（

1

2

+

1

3

-

1

n+1

-

1

n+2

），
∴

1

4ln2+3

+

1

4ln3+3

+

1

4ln4+3

+…+

1

4lnn+3

≥

(5n+8)(n-1)

12(n+1)(n+2)

（n≥2，n∈N）．
∴

1

1 3 ln2+ 1 4

+

1

1 3 ln3+ 1 4

+

1

1 3 ln4+ 1 4

+…+

1

1 3 lnn+ 1 4

≥

(5n+8)(n-1)

(n+1)(n+2)

（n≥2，n∈N）．

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．