Question

已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，各棱長(zhǎng)均為3，P、Q分別是側(cè)棱BB₁、CC₁上的點(diǎn)，且BP=C₁Q=1．
（1）在AC上是否存在一點(diǎn)D，使得BD∥平面APQ？證明你的結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論證明：平面APQ⊥平面AA₁CC₁；
（3）求三棱柱Q-APA₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)，BD∥平面APQ．由已知得BP=C₁Q=1，取AQ中點(diǎn)E，連結(jié)PE、ED，則四邊形BDEP是平行四邊形由此能證明BD∥平面APQ．
（2）由已知得平面ABC⊥平面AA₁C₁C，BD⊥平面AA₁C₁C，PE⊥平面AA₁C₁C，由此能證明面APQ⊥面AA₁C₁C．
（3）由VQ-APA1=VP-QAA1，利用等積法能求出三棱柱Q-APA₁的體積．

解答： （1）解：當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)，BD∥平面APQ．
證明如下：
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，各棱長(zhǎng)均為3，
∴BP=C₁Q=1，P，Q分別是BB₁，CC₁上的三等分點(diǎn)，
取AQ中點(diǎn)E，連結(jié)PE、ED，則DE為△AQC的中位線，
∴ED∥CQ，ED=

1

2

CQ，
又∵BP∥QC，BP=

1

2

QC，∴BP∥DE，BP=DE，
∴四邊形BDEP是平行四邊形，∴PE∥BD，
∵PE?平面APQ，BD?平面APQ，
∴BD∥平面APQ．
（2）證明：∵AA₁⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
∵BD⊥AC，BD?平面ABC，平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
∴四邊形BDEP是平行四邊形，∴PE∥BD，
∴PE⊥平面AA₁C₁C，
∵PE?平面APQ，∴平面APQ⊥平面AA₁C₁C．
（3）解：VQ-APA1=VP-QAA1=

1

3

×PE×S△OAA1
=C
=

1

3

×

3 3

3

×

1

2

×3×3
=

9 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查使得BD∥平面APQ的點(diǎn)D的位置的判斷與證明，考查平面APQ⊥平面AA₁CC₁的證明，考查三棱柱Q-APA₁的體積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．