Question

已知 f（x）=ax-lnx，g（x）=，其中x∈（0，e]（e是自然常數(shù)），a∈R
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調(diào)性、極值；
（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，f（x）＞g（x）+；　
（Ⅲ）是否存在a∈R，使f（x）的最小值是3，若存在求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=x-lnx，f'（x）=1-=（1分）
∴0＜x＜1時，f'（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減，
1＜x＜e時，f'（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增（3分）
∴f（x）的極小值為f（1）=1（4分）
（Ⅱ）∵f（x）的極小值為1，即f（x）在（0，e]上的最小值為1，
∴f（x）＞0，f（x）_min=1（5分）
令h（x）=g（x）+，h'（x）=，（6分）
當0＜x＜e時，h'（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增（8分）
∴h（x）_max=h（e）=＜+=1=f（x）_min
∴在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+； （9分）
（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
f'（x）=a-=
①當a≤0時，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3?a=（舍去），所以，此時f（x）無最小值．（11分）
②當0＜＜e時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，e]上單調(diào)遞增
f（x）_min=f（）=1+lna=3，a=e²，滿足條件．（12分）
③當≥e時，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3?a=（舍去），所以，此時f（x）無最小值．
綜上，存在實數(shù)a=e²，使得當x∈（0，e]時f（x）有最小值3．（14分）
分析：（Ⅰ）把a=1代入求出其導(dǎo)函數(shù)，即可求出f（x）的單調(diào)性、極值；
（Ⅱ）先利用導(dǎo)函數(shù)求出g（x）+的最大；再與（Ⅰ）的結(jié)論相結(jié)合即可證明結(jié)論；
（Ⅲ）先求出其導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根，比較根與區(qū)間兩端點的大小關(guān)系，求出其在x∈（0，e]上的單調(diào)性以及在x∈（0，e]上的最小值；即可判斷出是否存在a．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值以及在閉區(qū)間上的最值問題．是對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考查，也是高考常考考點．