精英家教網(wǎng)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),y1>0,y2<0,M是拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).若直線MA,MF,MB的斜率分別記為:KMA=a,KMF=b,KMB=c,(如圖)
(I)若y1y2=-4,求拋物線的方程;
(II)當(dāng)b=2時(shí),求a+c的值;
(III)如果取KMA=2,KMB=-
12
時(shí),判定|∠AMF-∠BMF|和∠MFO的值大小關(guān)系.并說明理由.
分析:(I)設(shè)直線AB的方程為y=k(x-
p
2
)
,由
y=k(x-
p
2
)
y2=2px
k
2p
y2-y-
kp
2
=0
,由此能求出拋物線的方程.
(II)設(shè)M(-
p
2
,y0)
b=
y0
-
p
2
-
p
2
=2
,所以y0=-2p,由此能夠推導(dǎo)出a+c=
8p2
2p2
=4

(III)設(shè)直線AM、FM、BM的傾斜角分別為θ1,θ2,θ3,則∠AMF=θ12,∠BMF=θ32,∠MFO=θ2tanθ1=2,tanθ3=-
1
2
,由此能夠?qū)С鰘∠AMF-∠BMF|>∠MFO.
解答:解:(I)設(shè)直線AB的方程為y=k(x-
p
2
)

y=k(x-
p
2
)
y2=2px
消去x得
k
2p
y2-y-
kp
2
=0

所以y1y2=-p2=-4
因?yàn)閜>0,所以p=2
所以此拋物線的方程為y2=4x
(II)設(shè)M(-
p
2
y0)
b=
y0
-
p
2
-
p
2
=2
,所以y0=-2p
所以a+c=
y1+2p
x1+
p
2
+
y2+2p
x2+
p
2
=
y1+2p
1
k
y1+p
+
y1+2p
1
k
y1+p
=
2ky1y2+pk(2+k)(y1+y2)+4p2
y1y2+pk(y1+y2)+p2

由(*)得y1y2=-p2,(y1+y2)=
2p
k

所以a+c=
8p2
2p2
=4

(III)設(shè)直線AM、FM、BM的傾斜角分別為θ1,θ2,θ3,
則∠AMF=θ12,∠BMF=θ32,∠MFO=θ2tanθ1=2,tanθ3=-
1
2
所以θ13=
π
2

所以|∠AMF-∠BMF|>∠MFO
點(diǎn)評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識,解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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1

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(1)若直線l的斜率為
2
2
,求證:
FA
FB
=0

(2)設(shè)直線FA,F(xiàn)B的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.

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A、
p2
2
B、p2
C、2p2
D、4p2

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