設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為Q,過(guò)Q點(diǎn)的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A(yíng),B兩點(diǎn).
(1)若直線(xiàn)l的斜率為
2
2
,求證:
FA
FB
=0
;
(2)設(shè)直線(xiàn)FA,F(xiàn)B的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.
分析:(1)由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程,和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系求出A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積,寫(xiě)出向量
FA
FB
的坐標(biāo),展開(kāi)數(shù)量積后代入根與系數(shù)關(guān)系得答案;
(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為l:x=ky-
p
2
,和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立后話(huà)誒關(guān)于y的一元二次方程,寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系,由兩點(diǎn)式求出斜率后作和化簡(jiǎn),代入根與系數(shù)關(guān)系即可得到答案.
解答:(1)證明:由題意可得l:y=
2
2
(x+
p
2
)

聯(lián)立
y=
2
2
(x+
p
2
)
y2=2px
,得x2-3px+
p2
4
=0

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=3p,x1x2=
p2
4

FA
=(x1-
p
2
y1),
FB
=(x2-
p
2
,y2)

FA
FB
=(x1-
p
2
)(x2-
p
2
)+y1y2=
3
2
x1x2-
p
4
(x1+x2)+
3
8
p2=0
;
(2)設(shè)直線(xiàn)l:x=ky-
p
2
,與拋物線(xiàn)聯(lián)立得y2-2pky+p2=0.
y1+y2=2p,y1y2=p2
k1+k2=
y1
x1-
p
2
+
y2
x2-
p
2
=
y1
ky1-p
+
y2
ky2-p
=
2ky1y2-p(y1+y2)
(ky1-p)(ky2-p)
=
2kp2-p•2pk
(ky1-p)(ky2-p)
=0
點(diǎn)評(píng):本題考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系問(wèn)題,常利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系,采用設(shè)而不求的方法解決,此題屬中高檔題.
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精英家教網(wǎng)設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng),B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),y1>0,y2<0,M是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的一點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).若直線(xiàn)MA,MF,MB的斜率分別記為:KMA=a,KMF=b,KMB=c,(如圖)
(I)若y1y2=-4,求拋物線(xiàn)的方程;
(II)當(dāng)b=2時(shí),求a+c的值;
(III)如果取KMA=2,KMB=-
12
時(shí),判定|∠AMF-∠BMF|和∠MFO的值大小關(guān)系.并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

7、設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上一點(diǎn)A(1,2)到點(diǎn)B(x0,0)的距離等于到直線(xiàn)x=-1的距離,則實(shí)數(shù)x0的值是
1

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拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形常被稱(chēng)為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì),如:若拋物線(xiàn)的弦過(guò)焦點(diǎn),則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線(xiàn)上.設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0),弦AB過(guò)焦點(diǎn),△ABQ為阿基米德三角形,則△ABQ為(  )

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A、
p2
2
B、p2
C、2p2
D、4p2

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