Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，x＜1}\\{4（x-a）（x-2a），x≥1}\end{array}\right.$若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍$\frac{1}{2}≤a＜1$或a≥2．

Answer 1

分析 ②分別設(shè)h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍．

解答 解：設(shè)h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a），
若在x＜1時(shí)，h（x）=2^x-a與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，
所以a＞0，并且當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=2-a＞0，所以0＜a＜2，
而函數(shù)g（x）=4（x-a）（x-2a）有一個(gè)交點(diǎn)，所以2a≥1，且a＜1，
所以$\frac{1}{2}$≤a＜1，
若函數(shù)h（x）=2^x-a在x＜1時(shí)，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
則函數(shù)g（x）=4（x-a）（x-2a）有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）與x軸無(wú)交點(diǎn)，g（x）無(wú)交點(diǎn)，所以不滿(mǎn)足題意（舍去），
當(dāng)h（1）=2-a≤0時(shí)，即a≥2時(shí)，g（x）的兩個(gè)交點(diǎn)滿(mǎn)足x₁=a，x₂=2a，都是滿(mǎn)足題意的，
綜上所述a的取值范圍是$\frac{1}{2}$≤a＜1，或a≥2
故答案為：$\frac{1}{2}≤a＜1$或a≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的問(wèn)題，以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力以及分類(lèi)能力，屬于中檔題．