Question

6．已知函數(shù)f（x）=x+a1nx在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）已知函數(shù)g（x）=（2-m）f（x）+（3m-2）x+$\frac{1}{x}$，當(dāng)m＜0時(shí)，討論g（x）的單調(diào)性；
（3）若存在實(shí)數(shù)t∈[0，2]，使得對(duì)任意的x∈[1，k]，不等式（x³-6x²+3x+t）e^x≤f（x）-lnx恒成立，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求正整數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意先求直線x+2y=0的斜率為-$\frac{1}{2}$；再由垂直可得在x=1處的切線的斜率為2；求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為2即可．
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得g（x）的單調(diào)性；
（3）不等式（x³-6x²+3x+t）e^x≤f（x）-lnx，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，即t≤xe^-x-x³+6x²-3x，轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)t∈[0，2]，使對(duì)任意的x∈[1，k]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，確定單調(diào)性，計(jì)算相應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)，即可求正整數(shù)k的最大值．

解答 解：（1）直線x+2y=0的斜率為-$\frac{1}{2}$，故在x=1處的切線的斜率為2；
f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，故f′（1）=1+a=2；
解得，a=1；
（2）g（x）=（2-m）（x+lnx）+（3m-2）x+$\frac{1}{x}$=2mx+（2-m）lnx+$\frac{1}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{（2x-1）（mx+1）}{{x}^{2}}$，
m＜-2時(shí)，函數(shù)在（-$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，（0，-$\frac{1}{m}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減；
m=-2，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
-2＜m＜0，函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{m}$）上單調(diào)遞增，（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{m}$，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）（x³-6x²+3x+t）e^x≤f（x）-lnx，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)t∈[0，2]，使對(duì)任意的x∈[1，k]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式2≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，k]上恒成立．
設(shè)φ（x）=e^-x-x²+6x-3，則φ（x）=-g^-x-2x+6．
設(shè)r（x）=φ（x）=-g^-x-2x+6，則r′（x）=g^-x-2，因?yàn)?≤x≤k，有r′（x）＜0．
故r（x）在區(qū)間[1，k]上是減函數(shù)
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-e^-3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）=φ′（x₀）=0．
當(dāng)1≤x＜x₀時(shí)，有φ′（x）＞0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，有φ′（x）＜0．
從而y=φ（x）在區(qū)間[1，x₀）上遞增，在區(qū)間（x₀，+∞）上遞減
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0
φ（4）=e^-4+5＞0，φ（5）=e^-5+2＞0，φ（6）=e^-6-3＜0
所以當(dāng)1≤x≤5時(shí)，恒有φ（x）＞0；當(dāng)x≥6時(shí)，恒有φ（x）＜0；
故使命題成立的正整數(shù)k的最大值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．