Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最值；
（3）指出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可得解；
（2）由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求．
（3）利用三角函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合已知即可得解．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos⁴x
=（sin⁴x-cos⁴x）+$\sqrt{3}$•（2sinxcosx）
=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）+$\sqrt{3}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的最大值為2，最小值為-2．
（3）∵當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時(shí)，即kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)增．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為：[0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π]．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查二倍角公式和兩角差的正弦公式，考查正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．