Question

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（）.

（1）求，，，的值；

（2）猜想的表達(dá)式，并加以證明。

 

Answer 1

（1）,,,; （2）猜想（）,證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）由條件，當(dāng)時(shí)，有，解得，同理當(dāng)分別取2，3，4可得，，的值；（2）由（1）中前四項(xiàng)的值可猜想,由得，兩式相減并化為，則是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，可得的通項(xiàng)公式.

【解析】
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720082723565758/SYS201411172008360172200934_DA/SYS201411172008360172200934_DA.007.png">，， （1分）

所以，當(dāng)時(shí)，有，解得； （2分）

當(dāng)時(shí)，有，解得； （3分）

當(dāng)時(shí)，有，解得； （4分）

當(dāng)時(shí)，有，解得．（5分）

（2）猜想（） （9分）

方法一：

由（），得（）， （10分）

兩式相減，得，即（）．（11分）

兩邊減2，得， （12分）

所以{}是以-1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

故， （13分）

即（）． （14分）

方法二：

①當(dāng)n=1時(shí)，由（1）可知猜想顯然成立； （10分）

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即， （11分）

由（），得，

兩式相減，得， （12分）

所以，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立． （13分）

根據(jù)①和②，知對(duì)任意，猜想成立．（14分）

考點(diǎn)：1.等比數(shù)列；2.猜想.