Question

如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（Ⅰ）求證AD⊥BM；
（Ⅱ）點E是線段DB上的一動點，當(dāng)二面角E-AM-D大小為時，試確定點E的位置．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先證明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，證明BM⊥平面ADM，從而可得AD⊥BM；
（Ⅱ）作出二面角E-AM-D的平面角，利用二面角E-AM-D大小為時，即可確定點E的位置．
解答：（Ⅰ）證明：∵長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點
∴AM=BM=
∴BM⊥AM
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM
∴AD⊥BM；
（Ⅱ）過點E作MB的平行線交DM于F，

∵BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM
在平面ADM中，過點F作AM的垂線，垂足為H，則∠EHF為二面角E-AM-D平面角，即∠EHF=
設(shè)FM=x，則DF=1-x，F(xiàn)H=
在直角△FHM中，由∠EFH=，∠EHF=，可得EF=FH=
∵EF∥MB，MB=，∴，∴
∴
∴當(dāng)E位于線段DB間，且時，二面角E-AM-D大小為．
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，正確運用面面垂直的性質(zhì)，掌握線面垂直的判定方法，正確作出面面角是關(guān)鍵．