Question

【題目】如圖所示，平面CDEF⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為平行四邊形，∠DAB＝45°，四邊形CDEF為直角梯形，EF∥DC，ED⊥CD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD.

（1）求證：AD⊥BF；

（2）若線段CF上存在一點(diǎn)M，滿足AE∥平面BDM，求的值；

（3）若a＝1，求二面角D﹣BC﹣F的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線AD及直線BF的方向向量，利用兩向量的數(shù)量積為0，即可得證；

（2）設(shè)，根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)，求出平面BDN的一個(gè)法向量，以及直線AE的方向向量，利用AE∥平面BDM，建立關(guān)于λ的方程，解出即可；

（3）求出平面BCF及平面BCD的法向量，利用向量的夾角公式即可得解.

解：（1）∵平面CDEF⊥平面ABCD，ED⊥CD，

∴ED⊥平面ABCD，

如圖，以D為原點(diǎn)，DC所在直線為y軸，過點(diǎn)D垂直于DC的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵∠DAB＝45°，AB＝3EF＝3，，

∴A（1，﹣1，0），B（1，2，0），C（0，3，0），E（0，0，a），F（0，1，a），

∴，

∴，

∴AD⊥EF；

（2）設(shè)，則，

設(shè)平面BDM的法向量為，則，

取x1＝2，則，

若AE∥平面BDM，則，即，解得，

∴線段CF上存在一點(diǎn)M，滿足AE∥平面BDM，此時(shí)；

（3）設(shè)平面BCF的法向量為，則，

取x2＝1，則，

又平面BCD的一個(gè)法向量為，

∴，

由圖可知，二面角D﹣BC﹣F為銳角，故二面角D﹣BC﹣F的余弦值為.