【題目】已知拋物線E:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于點K,過點K作圓C:(x﹣2)2+y2=1的兩條切線,切點為M,N,|MN|=
(1)求拋物線E的方程
(2)設(shè)A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點,且 = (其中O為坐標(biāo)原點)
①求證:直線AB必過定點,并求出該定點Q的坐標(biāo)
②過點Q作AB的垂線與拋物線交于G、D兩點,求四邊形AGBD面積的最小值.

【答案】
(1)解:由已知可得K(﹣ ,0),圓C:(x﹣2)2+y2=1的圓心C(2,0),半徑r=1.

設(shè)MN與x軸交于R,由圓的對稱性可得|MR|= ,

于是|CR|= = = ,

即有|CK|= = = =3,

即有2+ =3,解得p=2,則拋物線E的方程為y2=4x


(2)①證明:設(shè)直線AB:x=my+t,A( ,y1),B( ,y2),

聯(lián)立拋物線方程可得y2﹣4my﹣4t=0,

y1+y2=4m,y1y2=﹣4t,

= ,即有( 2+y1y2= ,

解得y1y2=﹣18或2(舍去),

即﹣4t=﹣18,解得t=

則有AB恒過定點Q( ,0);

②解:由①可得|AB|= |y2﹣y1|= ,

同理|GD|= |y2﹣y1|= ,

則四邊形AGBD面積S= |AB||GD|=

=4

令m2+ =μ(μ≥2),則S=4 是關(guān)于μ的增函數(shù),

則當(dāng)μ=2時,S取得最小值,且為88.

當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時,四邊形AGBD面積的最小值為88


【解析】(1)求得K的坐標(biāo),圓的圓心和半徑,運用對稱性可得MR的長,由勾股定理和銳角的三角函數(shù),可得CK=3,再由點到直線的距離公式即可求得p=2,進而得到拋物線方程;(2)①設(shè)出直線方程,榴蓮么拋物線方程,運用韋達定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡整理,即可得到定點Q;
②運用弦長公式和四邊形的面積公式,換元整理,結(jié)合基本不等式,即可求得最小值.

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B. f(x)=9sin(x-) (1≤x≤12,x∈N

C. f(x)=2sinx+7 (1≤x≤12,x∈N

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