如圖,在△ABC中,∠ACB為鈍角,AB=2,BC=
2
,A=
π
6
.D為AC延長線上一點,且CD=
3
+1.
(Ⅰ)求∠BCD的大小;
(Ⅱ)求BD的長及△ABC的面積.
考點:余弦定理的應(yīng)用
專題:解三角形
分析:(Ⅰ)利用正弦定理求出∠BCD的正弦函數(shù)值,然后求出角的大;
(Ⅱ)在△BCD中,由余弦定理可求BD的長,然后求出AC的長,即可求解△ABC的面積.
解答: (本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)在△ABC中,
因為AB=2,A=
π
6
,BC=
2

由正弦定理可得
AB
sin∠ACB
=
BC
sinA
,
2
sin∠ACB
=
2
sin
π
6
=
2
1
2
=2
2

所以sin∠ACB=
2
2

因為∠ACB為鈍角,所以∠ACB=
4

所以∠BCD=
π
4
.   …(6分)
(Ⅱ)在△BCD中,由余弦定理可知BD2=CB2+DC2-2CB•DC•cos∠BCD,
BD2=(
2
)2+(
3
+1)2-2•
2
•(
3
+1)•cos
π
4
,
整理得BD=2.
在△ABC中,由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA,
(
2
)2=22+AC2-2•2•AC•cos
π
6
,
整理得AC2-2
3
AC+2=0
.解得AC=
3
±1

因為∠ACB為鈍角,所以AC<AB=2.所以AC=
3
-1

所以△ABC的面積S=
1
2
AC•AB•sinA=
1
2
×2×(
3
-1)×
1
2
=
3
-1
2
.….(13分)
點評:本題考查余弦定理的應(yīng)用,解三角形,考查基本知識的應(yīng)用.
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(Ⅱ)設(shè)P為坐標(biāo)軸上的點,滿足:過點P分別作圓C1與圓C2的一條切線,切點分別為T1、T2,使得PT1=PT2,試求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo);
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x2
16
+
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4
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1
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