Question

在△ABC中，已知A=45°，cosB=

4

5

．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若BC=10，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosB的值和B的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到所求式子中C等于180°-A-B，而A=45°，得到C=135°-B，把所求的式子利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，把sinB和cosB的值代入即可求出值；
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理，由BC，sinA和（Ⅰ）中求得的sinC，即可求出AB的長(zhǎng)度，然后利用三角形的面積公式，由sinB，AB和BC的值即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵cosB=

4

5

，且B∈（0°，180°），
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

．
sinC=sin（180°-A-B）=sin（135°-B）
=sin135°cosB-cos135°sinB=

2

2

•

4

5

-(-

2

2

)•

3

5

=

7 2

10

；
（Ⅱ）由正弦定理得

BC

sinA

=

AB

sinC

，即

10

2 2

=

AB

7 10 2

，解得AB=14．
則△ABC的面積S=

1

2

|AB||BC|sinB=

1

2

×10×14×

3

5

=42．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、正弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．