Question

15．已知x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x+3y-7≥0}\\{2x+y-24≤0}\\{3x-y-6≥0}\end{array}\right.$，試求z=x+y的最大值或最小值及相應(yīng)的x，y的值．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最值和最優(yōu)解．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=x+y得y=-x+z，平移直線y=-x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，
直線y=-x+z的截距最小，此時(shí)z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-7=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），
代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y得z=$\frac{5}{2}$+$\frac{3}{2}$=2．
即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最小值為2．
當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，
直線y=-x+z的截距最大，此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-24=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=12}\end{array}\right.$，即B（6，12），
代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y得z=6+12=18．
即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為18．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．