Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；
（II）設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀，求函數(shù)f（x）的解析表達(dá)式．

Answer 1

解：（I）因?yàn)閷?duì)任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x
所以f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2
又由f（2）=3，得f（3-2²+2）=3-2²+2，即f（1）=1
若f（0）=a，則f（a-0²+0）=a-0²+0，即f（a）=a．
（II）因?yàn)閷?duì)任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
又因?yàn)橛星抑挥幸粋�(gè)實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀
所以對(duì)任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀
在上式中令x=x₀，有f（x₀）-x₀²+x₀=x₀
又因?yàn)閒（x₀）=x₀，所以x₀-x₀²=0，故x₀=0或x₀=1
若x₀=0，則f（x）-x²+x=0，即f（x）=x²-x
但方程x²-x=x有兩個(gè)不相同實(shí)根，與題設(shè)條件矛盾．故x₀≠0
若x₀=1，則有f（x）-x²+x=1，即f（x）=x²-x+1．易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè)條件．
綜上，所求函數(shù)為f（x）=x²-x+1（x∈R）
分析：（I）由題意知f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2，f（1）=1，由上此可推出f（a）=a．
（II）因?yàn)閷?duì)任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．又因?yàn)橛星抑挥幸粋�(gè)實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀
所以對(duì)任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀，因?yàn)閒（x₀）=x₀，所以x₀-x₀²=0，故x₀=0或x₀=1．由此可推導(dǎo)出f（x）=x²-x+1（x∈R）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．