Question

（2011•奉賢區(qū)二模）（理）已知F1(-

2

，0)和F2(

2

，0)，點(diǎn)T（x，y）滿足|

TF1

|+|

TF2

|=4，O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)T的軌跡方程Γ；
（2）任意一條不過原點(diǎn)的直線L與軌跡方程Γ相交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，三條直線OP，OQ，PQ的斜率分別是k_OP、k_OQ、k_PQ，
k_PQ²=k_OP•k_OQ，求k_PQ．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)T（x，y）滿足|

TF1

|+|

TF2

|=4＞|

F1F2

|，故軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，從而可求軌跡方程；
（2）將執(zhí)行方程與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率公式，結(jié)合韋達(dá)定理即可證明．

解答：解：（1）由題意，點(diǎn)T的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，且a=2，c=

2

從而所求軌跡方程為

x2

4

+

y2

2

=1（6分）
（2）設(shè)直線L的方程：y=kx+t（t≠0）（7分）

y=kx+t x2 4 + y2 2 =1

消去y得：（1+2k²）x²+4ktx+2t²-4=0，（9分）x1x2=

2t2-4

1+2k2

（10分）
消去x得：（1+2k²）y²-2yt+t²-4k²=0，y1y2=

t2-4k2

1+2k2

（12分）
∴kOP•kOQ=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

x1x2

=

t2-4k2

2t2-4

=k2，（14分）∴k2=

1

2

∴k=±

2

2

（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考查橢圓的定義，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查斜率公式，由較強(qiáng)的綜合性．