Question

如圖，單位正方形OABC在二階矩陣T的作用下，變成菱形OA₁B₁C₁．
（1）求矩陣T；
（2）設(shè)雙曲線F：x²-y²=1在矩陣T對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F′，求曲線F′的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：矩陣變換的性質(zhì)

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（1）利用待定系數(shù)法，即可求矩陣T；
（2）曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），根據(jù)矩陣變換的公式求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P′（x′，y′），解出由x′、y′表示x，y的式子，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入曲線C方程，化簡(jiǎn)即得曲線C'的方程．

解答： 解：（1）設(shè)T=

a b c d

，
由

a b c d

1 0

=

2 1

，解得

a=2 c=1

                    …（3分）
由

a b c d

0 1

=

1 2

，解得

b=1 d=2

所以T=

2 1 1 2

．                                 …（7分）
（2）設(shè)曲線F上任意一點(diǎn)P（x，y）在矩陣T對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′（x′，y′），則

2 1 1 2

x y

=

x′ y′

，即

2x+y=x′ x+2y=y′

，所以

x= 2x′-y′ 3 y= 2y′-x′ 3

　　　…（9分）
因?yàn)閤²-y²=1，
所以（2x?-y?）²-（2y?-x?）²=9，即x?²-y?²=3，…（12分）
故曲線F?的方程為x²-y²=3．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出矩陣變換，求曲線C在矩陣M對(duì)應(yīng)變換作用下得到的曲線C'方程，著重考查了矩陣與變換的運(yùn)算、曲線方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．