Question

（2012•黃岡模擬）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=1，求曲線y=f(x)在x=

1

2

處切線的斜率；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=2^x，若對(duì)任意x₁∈（0，+∞），存在x₂∈[0，1]，使f（x₁）＜g（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）運(yùn)用求導(dǎo)數(shù)法則，得f'（x）=1+

1

x

，從而得到曲線y=f(x)在x=

1

2

處切線的斜率k=f'（

1

2

）=3；
（2）首先f'（x）=a+

1

x

，（x＞0），再根據(jù)a的正負(fù)討論f'（x）的取值，可得當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函數(shù)；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=ax+lnx在（0，-

1

a

）上為增函數(shù)，在（-

1

a

，+∞）上為減函數(shù)．
（3）由題意，得f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于g（x₂）在[0，1]上的最大值．由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得g（x₂）在[0，1]上的最大值為g（1）=2，從而得到f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于2．再結(jié)合（2）中函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論，列出不等式并解之，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-

1

e3

）．

解答：解：（1）a=1時(shí)，f（x）=x+lnx
∴f'（x）=1+

1

x

，可得f'（

1

2

）=3
∴曲線y=f(x)在x=

1

2

處切線的斜率k=f'（

1

2

）=3
（2）由題意，得f'（x）=a+

1

x

，（x＞0）
∴當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）=a+

1

x

在（0，-

1

a

）上為正數(shù)，在（-

1

a

，+∞）上為負(fù)數(shù)
由此可得：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=ax+lnx在（0，-

1

a

）上為增函數(shù)，在（-

1

a

，+∞）上為減函數(shù)
（3）由題意，得f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于g（x₂）在[0，1]上的最大值．
∵g（x）=2^x，[0，1]上是增函數(shù)
∴g（x₂）在[0，1]上的最大值為g（1）=2
即f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于2
當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函數(shù)，f（x₁）沒有最大值；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x₁）在（0，+∞）上的最大值為f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）＜2
解之得a＜-

1

e3

，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-

1

e3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有對(duì)數(shù)的基本初等函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性并解決不等式恒成立的問題，著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和含有參數(shù)不等式的討論等知識(shí)，屬于中檔題．