Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b_n=2b_n-1+1（n≥2），求{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）若c_n=a_n（b_n+1），求數(shù)列{c_n}前幾項和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由S_n=n²+2n，利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2），再驗(yàn)證n=1，可求得a_n=2n+1；
（Ⅱ）易知，{b_n+1}是2為首項，2為公比的等比數(shù)列，于是可求{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）c_n=a_n（b_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，T_n=c₁+c₂+…+c_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）•2ⁿ①，2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹②利用錯位相減法即可求得T_n=（2n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=n²+2n，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
當(dāng)n=1時，a₁=3，也符合上式，
∴a_n=2n+1；
（Ⅱ）由題意知b_n=2b_n-1+1，∴b_n+1=2（b_n-1+1）（n≥2），
∴

bn+1

bn-1+1

=2
∵b₁+1=2，∴{b_n+1}是2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ．
∴b_n=2ⁿ-1．
（Ⅲ）∵c_n=a_n（b_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）•2ⁿ，①
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=3×2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n+1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺²-（2n+1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系與等比關(guān)系的確定及通項公式的應(yīng)用，突出考查錯位相減法的應(yīng)用，屬于難題．