在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且sin2C+
3
cos（A+B）=0．
（1）若a=4，c=
13
，求b的長(zhǎng)；
（2）若C＞A，A=60°，AB=5，求
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
的值．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理
專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用
分析：由已知數(shù)據(jù)可得cosC=0或sinC=
3
2
，（1）由條件可得sinC=
3
2
，C=60°，由余弦定理可得；（2）由題意驗(yàn)證可得C=90°，由數(shù)量積的定義計(jì)算可得．
解答： 解：∵A+B+C=π，∴A+B=π-C，
∴sin2C+
3
cos(A+B)=2sinC•cosC+
3
cos(π-C)，
∴2sinCcosC-
3
cosC=cosC(2sinC-
3
)=0
∴cosC=0或sinC=
3
2
，
（1）∵a=4，c=
13
，∴c＜a，
∴C＜A，∴C為銳角，
∴sinC=
3
2
，此時(shí)C=60°
由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC
代入數(shù)據(jù)可得13=16+b2-2•4•b•
1
2
，
化簡(jiǎn)可得b2-4b+3=0，
解得b=1或b=3，經(jīng)檢驗(yàn)均滿足題意；
（2）∵C＞A，A=60°，∴C＞600，
若sinC=
3
2
，C=1200，A+C＞1800，不合題意
∴cosC=0，C=90°，
∴
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
=
AB
•
BC
+0+
CA
•
AB

=
AB
•(
BC
+
CA
)=
AB
•
BA
=-
AB
2=-25
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積，涉及三角函數(shù)和解三角形，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直線y=5，與y=-1在區(qū)間[0，
2π
ω
]上截曲線y=Asinωx+B（A＞0，B＞0，ω＞0）所得弦長(zhǎng)相等且不為零，則下列描述正確的是（　　）
A、A≤
2
3
，B=
5
2
B、A≤3，B=2
C、A＞
3
2
，B=
5
2
D、A＞3，B=2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，多面體ABCDEF中，BA、BC、BE兩兩垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（Ⅰ）若點(diǎn)G在線段AB上，且BG=3GA，求證：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求證：平面ABD⊥平面DEF．
（Ⅲ）求直線DF與平面ABEF所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（
1
2
，0），準(zhǔn)線方程為x=-
1
2
．
（1）寫(xiě)出拋物線C的方程；
（2）（此小題僅理科做）過(guò)F點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB重心G的軌跡方程；
（3）點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓（x-3）2+y2=2的切線，切點(diǎn)分別是M，N．當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，|MN|的值最��？并求出|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前n項(xiàng)的和為Sn，點(diǎn)（an，Sn）在函數(shù)y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的圖象上；數(shù)列{bn}滿足b1=a1，bn+1（an+1-an）=bn．其中n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=
an
bn
，求證：數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的和Tn＞
5
9
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，AB，CD均為圓O的直徑，CE⊥圓O所在的平面，BF∥CE，求證：
（1）BC⊥平面ACE；
（2）面BDF∥平面ACE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2+2n．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{bn}中，b1=1，bn=2bn-1+1（n≥2），求{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若cn=an（bn+1），求數(shù)列{cn}前幾項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1離心率是
2
，過(guò)點(diǎn)（
3
，1），且右支上的弦AB過(guò)右焦點(diǎn)F．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（3）是否存在以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O？，若存在，求出直線AB的斜率k的值．若不存在，則說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=60°，E、F分別是PB，CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB⊥面AEF
（Ⅱ）求二面角A-PE-F的大小．

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