Question

已知函數(shù)f（x）=2sinaxcosax+2

3

cos²ax-

3

（其中a＞0），點A，B是y=f（x）圖象上相鄰的兩個最值點，且|AB|=

π2 4 +16

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在銳角三角形△ABC中，f（A）=0，BC=

13

，AB=3，求AC的長．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)|AB|的值，求出f（x）的周期T，利用周期公式即可求出a的值，確定出f（x）解析式；
（2）由f（x）解析式，以及f（A）=0，求出A的度數(shù)，再由BC，AB的長，利用余弦定理即可求出AC的長．

解答： 解：（1）f（x）=2sinaxcosax+

3

（2cos²ax-1）=sin2ax+

3

cos2ax=2sin（2ax+

π

3

），
設函數(shù)f（x）的最小正周期為T，
由題意得：|AB|=

42+( T 2 )2

=

π2 4 +16

，解得：T=π，
∴

2π

2a

=π，解得：a=1，
則f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

3

）=0，
∴2A+

π

3

=kπ，k∈Z，
又0＜A＜

π

2

，
∴A=

π

3

，
由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA，
又BC=

13

，AB=3，
∴13=9+AC²-2×3×AC×

1

2

，
解得：AC=4．

點評：此題考查了余弦定理，三角形的周期性及其求法，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．