Question

設(shè)函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=g（2-x），f（x）=

g(x)(x≠2) 1(x=2)

，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=（　　）

• A、0
• B、2
• C、4
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=g（2-x），f（x）=

g(x)(x≠2) 1(x=2)

，易知f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．從而得出f²（x）+bf（x）+c=0必有一根使f（x）=1，不妨設(shè)為x₁，而x₂，x₃關(guān)于直線x=2對(duì)稱，于是求得x₁+x₂+x₃的值．

解答： 解：由函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=g（2-x），f（x）=

g(x)(x≠2) 1(x=2)

，
易知f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱
對(duì)于方程f²（x）+bf（x）+c=0，是一個(gè)關(guān)于f（x）的一元二次方程，
若此一元二次方程僅有一根，則必有f（x）=1，此時(shí)x₁，x₂，x₃三個(gè)數(shù)中有一個(gè)是2，另兩個(gè)關(guān)于x=2對(duì)稱，此時(shí)有 x₁+x₂+x₃=6；　
若關(guān)于f（x）的一元二次方程f²（x）+bf（x）+c=0有兩個(gè)根，則必有f（x）=2與f（x）=m≠1，此時(shí)f（x）=2有兩根，且此兩根關(guān)于x=2對(duì)稱，f（x）=m=1的根為2，此時(shí)有x₁+x₂+x₃=6，
綜上知x₁+x₂+x₃=6，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了轉(zhuǎn)化思想的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷．