Question

【題目】等差數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.

	第一列	第二列	第三列
第一行	5	8	2
第二行	4	3	12
第三行	16	6	9

（1）請選擇一個可能的組合，并求數(shù)列的通項公式；

（2）記（1）中您選擇的的前項和為，判斷是否存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若有，請求出的值；若沒有，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析，或；（2）存在，.

【解析】

（1）滿足題意有兩種組合：①，，，②，，，分別計算即可；

（2）由（1）分別討論兩種情況，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，即，解方程是否存在正整數(shù)解即可.

（1）由題意可知：有兩種組合滿足條件：

①，，，此時等差數(shù)列，，，

所以其通項公式為.

②，，，此時等差數(shù)列，，，

所以其通項公式為.

（2）若選擇①，.

則.

若，，成等比數(shù)列，則，

即，整理，得，即，

此方程無正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)，使，，成等比數(shù)列.

若選則②，，

則，

若，，成等比數(shù)列，則，

即，整理得，因為為正整數(shù)，所以.

故存在正整數(shù)，使，，成等比數(shù)列.