如圖，已知A是橢圓＝1(a＞b＞0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，弦AB過點(diǎn)F2，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，恰好有|AF1|＝3|AF2|．

(1)求橢圓的離心率；

(2)設(shè)P是橢圓的左頂點(diǎn)，PA，PB分別與橢圓右準(zhǔn)線交與M，N兩點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

答案：
解析：

　　解：(1)由條件可得,解得　.3分

　　(2)由(1)可設(shè)橢圓方程為其右準(zhǔn)線方程為，

　　①當(dāng)軸時(shí)，易得，由三點(diǎn)共線可得則圓D的方程為，即易得圓過定點(diǎn)　6分

　�、诋�(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,,把直線方程代入橢圓方程得:

　　

　　,

　　故直線的方程為,令得,同理可得　9分

　　＝

　　

　　所以在以為直徑的圓上,

　　綜上,以為直徑的圓一定經(jīng)過定點(diǎn)　12分


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：天利38套《2009高考模擬試題匯編附加試題》、數(shù)學(xué)文科 題型：022

如圖，已知A、B兩點(diǎn)分別是橢圓C：的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，而F是橢圓C的右焦點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率e＝________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河北省高三3月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江蘇省高二上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分15分）如圖，已知橢圓：＋＝1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸AB長(zhǎng)為4，離心率e＝，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過B的直線l與x軸垂直．P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP＝PQ，連結(jié)AQ延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M，N為的中點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）證明：Q點(diǎn)在以為直徑的圓上；

（3）試判斷直線QN與圓的位置關(guān)系．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：＝1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過點(diǎn)C(2,1)，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D.

(1)求橢圓E的方程；

(2)點(diǎn)P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請(qǐng)說明理由；

(3)平行于CD的直線l交橢圓E于M、N兩點(diǎn)，求△CMN面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．

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