Question

1．給出下列命題：
①向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CD}$是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；
②兩個單位向量是相等向量；
③若$\overrightarrow a=\overrightarrow b，\overrightarrow b=\overrightarrow c$，則$\overrightarrow a=\overrightarrow c$；
④若一個向量的模為0，則該向量與任一向量平行；
⑤若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$共線，$\overrightarrow b$與$\overrightarrow c$共線，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$共線
⑥若S_n=$sin\frac{π}{7}+sin\frac{2π}{7}+…+sin\frac{nπ}{7}$（n∈N^*），則在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正數(shù)的個數(shù)是72個．
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①根據(jù)向量關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行判斷，
②單位向量的方向不一定相同，
③根據(jù)相等向量的定義進(jìn)行判斷，
④模長為0的向量為零向量，
⑤當(dāng)$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{0}$時，結(jié)論不成立，
⑥由于sin$\frac{π}{7}$＞0，sin$\frac{2π}{7}$＞0，…sin$\frac{6π}{7}$＞0，sin$\frac{7π}{7}$=0，sin$\frac{8π}{7}$＜0，…sin$\frac{13π}{7}$＜0，sin$\frac{14π}{7}$=0，可得到S₁＞0，…S₁₃=0，而S₁₄=0，從而可得到周期性的規(guī)律，從而得到答案．

解答 解：①向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CD}$是共線向量，則$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，但A、B、C、D四點不一定在一直線上，故①錯誤；
②兩個單位向量是相等向量錯誤，長度相等，但方向不一定相同，故②錯誤；
③若$\overrightarrow a=\overrightarrow b，\overrightarrow b=\overrightarrow c$，則$\overrightarrow a=\overrightarrow c$；正確，故③正確，
④若一個向量的模為0，則該向量為零向量，零向量與任一向量平行，故④正確，
⑤若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$共線，$\overrightarrow b$與$\overrightarrow c$共線，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$共線，錯誤，當(dāng)$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{0}$時，結(jié)論不成立，故⑤錯誤，
⑥∵sin$\frac{π}{7}$＞0，sin$\frac{2π}{7}$＞0，…sin$\frac{6π}{7}$＞0，sin$\frac{7π}{7}$=0，sin$\frac{8π}{7}$＜0，…sin$\frac{13π}{7}$＜0，sin$\frac{14π}{7}$=0，
∴S₁=sin$\frac{π}{7}$＞0，
S₂=sin$\frac{π}{7}$+sin$\frac{2π}{7}$＞0，
…，
S₈=sin$\frac{π}{7}$+sin$\frac{2π}{7}$+…sin$\frac{6π}{7}$+sin$\frac{7π}{7}$+sin$\frac{8π}{7}$=sin$\frac{2π}{7}$+…+sin$\frac{6π}{7}$+sin$\frac{7π}{7}$＞0，
…，
S₁₂＞0，
而S₁₃=sin$\frac{π}{7}$+sin$\frac{2π}{7}$+…+sin$\frac{6π}{7}$+sin$\frac{7π}{7}$+sin$\frac{8π}{7}$+sin$\frac{9π}{7}$+…+sin$\frac{13π}{7}$=0，
S₁₄=S₁₃+sin$\frac{14π}{7}$=0+0=0，
又S₁₅=S₁₄+sin$\frac{15π}{7}$=0+sin$\frac{π}{7}$=S₁＞0，S₁₆=S₂＞0，…S₂₇=S₁₃=0，S₂₈=S₁₄=0，
∴S_14n-1=0，S_14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7項，
∴在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，為0的項共有14項，其余項都為正數(shù)．
故在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正數(shù)的個數(shù)是86．故⑥錯誤，
故正確的是③④，
故選：B

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及向量的有關(guān)概念和性質(zhì)，考查學(xué)生的運算和推理能力．