Question

已知拋物線的焦點F在x軸上，且經(jīng)過點Q（2，m），點Q到點F的距離為4．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過M（0，3）作直線交拋物線于A、B，求AB的中點N的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，p＞0，由已知得2+p=4，由此能求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點N（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入y²=4x，利用點差法有求出AB的中點N的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵拋物線的焦點F在x軸上，且經(jīng)過點Q（2，m），
∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，p＞0，
∵點Q到點F的距離為4，
∴2+p=4，解得p=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點N（x，y），
則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入y²=4x，得：

y12=4x1 y22=4x2

，整理，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
即2y（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

2

y

，
又直線AB過N（x，y），M（0，3），∴k=

y-3

x

，
∴

y-3

x

=

2

y

，整理，得y²-3y-2x=0，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，上式也成立，
∴AB的中點N的軌跡方程為y²-3y-2x=0．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查拋物線的弦的中點的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要注意點差法的合理運用．