Question

12．若函數(shù)f（x）=x³-tx²+3x在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． $（-∞，\frac{51}{8}]$
• B． （-∞，3]
• C． $[\frac{51}{8}，+∞）$
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得f′（x）≥0即3x²-2tx+3≥0在[1，4]上恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得不等式組的解集．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-tx²+3x，
∴f′（x）=3x²-2tx+3，
若函數(shù)f（x）=x³-tx²+3x在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0即3x²-2tx+3≥0在[1，4]上恒成立，
∴t≤$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，4]上恒成立，
令y=$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：函數(shù)在[1，4]為增函數(shù)，
當(dāng)x=1時，函數(shù)取最小值3，
∴t≤3，
即實數(shù)t的取值范圍是（-∞，3]，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)符號間的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．