Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且

2bcosA

c

=

sin(A-C)

sinC

+2cosA．
（1）求角A的大��；
（2）若△ABC是等腰三角形，c=1，邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，在這種情況下，求AD的最小值．

Answer 1

分析：（1）由條件利用正弦定理化簡(jiǎn)可得

2sinBcosA

sinC

=

sin(A-C)+2sinCcosA

sinC

，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為 2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，可得cosA=

1

2

，由此求得A的值．
（2）由題意可得點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)P在邊BC上，如圖，可得AD=PD，設(shè)∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，再設(shè)AD=DP=x，則有DB=1-x．再求得∠BPD=120°-2θ，
∠DBP=60°，在△BDP中，由正弦定理求得x=

5 3

sin(120°-2θ)+ 3 2

．根據(jù)0°≤θ≤60°，可得當(dāng)120°-2θ=90°時(shí)，sin（120°-2θ）=1，此時(shí)，x=AD取得最小值．

解答：解：（1）∵

2bcosA

c

=

sin(A-C)

sinC

+2cosA，由正弦定理可得

2sinBcosA

sinC

=

sin(A-C)+2sinCcosA

sinC

．
化簡(jiǎn)可得 2sinBcosA=sinAcosC-cosAsinC+2sinCcosA，即 2sinBcosA=sin（A+C）=sinB．
故 cosA=

1

2

，∴A=60°．
（2）由于△ABC是等腰三角形，AB=c=1，由題意可得點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)P在邊BC上，如圖所示：
顯然A，P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對(duì)稱，連接DP，圖（2）中，可得AD=PD，則有∠BAP=∠APD，
設(shè)∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，再設(shè)AD=DP=x，則有DB=1-x．
在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，∴∠BPD=120°-2θ，∠DBP=60°，
在△BDP中，由正弦定理知

BD

sin∠BPD

=

DP

sin∠DBP

，即

1-x

sin(120°-2θ)

=

x

sin60°

，x=

5 3

sin(120°-2θ)+ 3 2

．
∵0°≤θ≤60°，∴0°≤120°-2θ≤120°，∴當(dāng)120°-2θ=90°，即θ=15°時(shí)，sin（120°-2θ）=1，
此時(shí)，x=AD取得最小值為

5 3

1+ 3 2

=

10 3

2+ 3

=20

3

-30．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．