Question

已知f（x）=

x+a

x2+2

是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，試判斷它的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，解得a=0，可得f（x）=

x

x2+1

，且函數(shù)在[-1，1]上是增函數(shù)．證明如下：任取-1≤x₁＜x₂≤1，求得f（x₁）-f（x₂）＜0，
可得f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)．

解答：解：∵f（x）=

x+a

x2+2

 是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即a=0．
∴f（x）=

x

x2+1

，故函數(shù)f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)．
證明如下：任取-1≤x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，-1＜x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0．
∴f(x1)-f(x2)=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

x1 x 2 2 +x1- x 2 1 x2-x2

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

=

x1x2(x2-x1)-(x2-x1)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題．