Question

【題目】已知圓O：x2+y2=4，點(diǎn)F（ ，0），以線段MF為直徑的圓內(nèi)切于圓O，記點(diǎn)M的軌跡為C
（1）求曲線C的方程；
（2）若過(guò)F的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得 為定值？若存在，求出點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)FM的中點(diǎn)為Q，切點(diǎn)為G，連OQ，QG，

則|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′，連F′M，

故|F′M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4．

點(diǎn)M的軌跡是以F′，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．

其中，a=2，c=，b=1，則曲線C的方程為 +y2=1

（2）解：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x﹣ ），

A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立 ，得 ．

則△＞0， ，

若存在定點(diǎn)N（m，0）滿(mǎn)足條件，

則有 =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2

=x1x2+

=

= = ．

如果要上式為定值，則必須有 ，解得m= ，

此時(shí) = ．

驗(yàn)證當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，也符合．

故存在點(diǎn)N（ ，0）滿(mǎn)足 為定值．

【解析】（1）設(shè)FM的中點(diǎn)為Q，切點(diǎn)為G，連OQ，QG，通過(guò)|OQ|+|QG|=|OG|=2，推出|F′M|+|MF|=4．說(shuō)明點(diǎn)M的軌跡是以F′，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．然后求解曲線C的方程；（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x﹣ ），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B的橫坐標(biāo)的和與積，代入 ，由 為定值求得m值，驗(yàn)證斜率不存在時(shí)適合得答案．