Question

已知的是奇函數(shù)．
（I）求a的值；
（II）若關于x的方程f^-1（x）=m•2^-x有實解，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）當函數(shù)為奇函數(shù)時，定義域必關于原點對稱，先帶著a求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)定義域左右端點互為相反數(shù)，求出a的值．
（II）法一：先求出f^-1（x），化簡f^-1（x）=m•2^-x，把m用含x的式子表示，再用均值不等式求最值即可．
法二：同法一，先化簡f^-1（x）=m•2^-x，在看成關于t的一元二次方程，原方程有實解，等價于關于t的一元二次方程有正實解，在據(jù)此求出m的范圍．
解答：解：（I）由
∵f（x）為奇函數(shù)，∴a-2=-a⇒a=1．
經驗證可知：a=1時，f（x）是奇函數(shù)，a=1為所求 
（II）∵，∴．
法一：由f^-1（x）=m•2^-x得：
所以m的取值范圍是
法二：原方程即（2^x）²-（m+1）2^x-m=0設2^x=t，則t²-（m+1）t-m=0
原方程有實解，等價于方程t²-（m+1）t-m=0有正實解 
令g（t）=t²-（m+1）t-m則
所以m的取值范圍是
點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，以及一元二次方程根的判斷．