Question

8．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=-2+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}5x=1-4t\\ 5y=18+3t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，把曲線C₁的參數(shù)方程化為極坐標方程；
（2）設點P為曲線C₂上的動點，過點P作曲線C₁的兩條切線，求這兩條切線所成角的余弦值的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先把曲線C₁的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化成極坐標方程．
（2）求出過點P作曲線C₁的兩條切線，切線長l≥$\sqrt{15}$，即可求這兩條切線所成角的余弦值的取值范圍．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=-2+sinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為：（x-1）²+（y+2）²=1．
根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直角坐標方程轉(zhuǎn)化為：ρ²-2ρcosθ+4ρsinθ+4=0．
（2）（x-1）²+（y+2）²=1的圓心坐標為（1，-2），半徑為1，
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}5x=1-4t\\ 5y=18+3t\end{array}\right.$，普通方程為3x+4y-15=0，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|3-8-15|}{5}$=4，
∴過點P作曲線C₁的兩條切線，切線長l≥$\sqrt{15}$，
設兩條切線所成角為2α，則cosα≥$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cos2α≥$\frac{7}{8}$，
∴這兩條切線所成角的余弦值的取值范圍是[0，arccos$\frac{7}{8}$]．

點評 本題考查的知識要點：參數(shù)方程與極坐標方程和直角坐標方程的互化，直角坐標與極坐標之間的互化．