Question

在△ABC中，已知，sinB=cosAsinC，又△ABC的面積等于6．
（1）求△ABC的三邊之長；
（2）設(shè)P是△ABC（含邊界）內(nèi)一點，P到三邊AB、BC、CA的距離分別為d₁、d₂、d₃，求d₁+d₂+d₃的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)三邊分別為a，b，c，利用正弦定理和余弦定理將題中條件角的關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，得到直角三角形ABC，再結(jié)合向量條件利用三角形面積公式即可求出三邊長．
（2）欲求d₁+d₂+d₃的取值范圍，利用坐標法，將三角形ABC放置在直角坐標系中，通過點到直線的距離將求d₁+d₂+d₃的范圍轉(zhuǎn)化為故．最后結(jié)合線性規(guī)劃的思想方法求出范圍即可．
解答：解：（1）設(shè)三角形三內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的三邊分別為a，b，c，
∵sinB=cosAsinC，∴，由正弦定理有，
又由余弦定理有，∴，即a²+b²=c²，
所以△ABC為Rt△ABC，且∠C=90°（3分）
又
（1）÷（2），得（4分）
令a=4k，b=3k（k＞0）
則∴三邊長分別為3，4，5（6分）
（2）以C為坐標原點，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標系，
則A、B坐標為（3，0），（0，4），直線AB方程為4x+3y-12=0．
設(shè)P點坐標為（x，y），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為d₁，d₂和d₃
可知，（8分）
且故．（10分）
令m=x+2y，由線性規(guī)劃知識可知，如圖：
當直線分別經(jīng)過點A、O時，z取得最大、最小值．
故0≤m≤8，故d₁+d₂+d₃的取值范圍是（12分）
點評：本題主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量數(shù)量積的運算、簡單線性規(guī)劃思想方法的應(yīng)用，屬于中檔題．