Question

設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：的左、右焦點．

（1）設點是橢圓C上的點，且F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），試寫出橢圓C的方程；

（2）設K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點B的軌跡方程；

（3）設點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M、N兩點，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為，試探究的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）的值與點P的位置無關，同時與直線L無關。理由如下：因過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱，故可設，，，則，，即．

因為、、在橢圓上，應滿足橢圓方程即，，兩式相減得

，所以即，

故的值與點P的位置無關，同時與直線L無關。

【解析】

試題分析：（1）計算橢圓C上點到兩點F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）的距離和為4，根據(jù)橢圓的定義知和，再由即可求出，，即可寫出橢圓C的方程；（2）確定的中點，與點坐標之間的關系，把的坐標代入橢圓方程，即可求線段的中點的軌跡方程；（3）設出的坐標，代入方程，由兩點式寫出與所在直線的斜率，作積后把點的縱坐標用橫坐標表示，整理后可得要證明的結論．

試題解析：（1）由于點是橢圓C上的點，故，即．

又因為，所以，所以橢圓C的方程為．

（2）設的中點，則點，把的坐標代入橢圓方程中得

，所以線段的中點的軌跡方程為．

（3）的值與點P的位置無關，同時與直線L無關。

理由如下：因過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱，故可設，，

，則，，即．

因為、、在橢圓上，應滿足橢圓方程即，，兩式相減得

，所以即，

故的值與點P的位置無關，同時與直線L無關。

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程．