Question

13．直角坐標系xOy中，直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\\{\;}\end{array}\right.$（t為參數，0≤α＜π），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程ρ=-4cosθ，圓C的圓心到直線l的距離為$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求α的值；
（Ⅱ）已知P（1，0），若直線l于圓C交于A、B兩點，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數t，可得直線的普通方程，利用點到直線的距離公式求解即可．
（Ⅱ）參數方程代入圓的方程，利用參數的幾何意義求解$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\\{\;}\end{array}\right.$，消去t，可得直線l的普通方程為：xsinα-ycosα-sinα=0．
圓C的普通方程為x²+y²+4x=0．
∵C（-2，0）∴C到l的距離d=$\frac{|-2sinα-sinα|}{\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}}$=3sinα=$\frac{3}{2}$，∴sin$α=\frac{1}{2}$        …．（4分）
∵0≤α＜π，∴α=$\frac{π}{6}$或α=$\frac{5π}{6}$        …．（5分）
（Ⅱ）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\\{\;}\end{array}\right.$代入x²+y²+4x=0得：（1+tcosα）²+（tsinα）2+4（1+tcosα）=0，
∴t²+6tcosα+5=0，設A，B對應參數為t₁，t₂，則$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-6cosα}\\{{t}_{1}{t}_{2}=5}\end{array}\right.$
t₁，t₂同號                                             …．（8分）
|t₁+t₂|=3$\sqrt{3}$
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．…．（10分）

點評 本題考查直線的參數方程以及圓的方程的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．