Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，曲線C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁和C₂的直角坐標(biāo)方程；
（1）設(shè)曲線C₁和C₂交于兩點A，B，求以線段AB為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （I）把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲線ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3即可化為直角坐標(biāo)方程．曲線C₂參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)） 消去參數(shù)化為直角坐標(biāo)方程．
（II）直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得交點坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出．

解答 解：（I）曲線ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3化為直角坐標(biāo)方程為：x²+3y²=3，即$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
曲線C₂參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)） 化為直角坐標(biāo)方程為：x=-$\sqrt{3}$（y-1），即x+$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0．
（II）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\\{x=-\sqrt{3}（y-1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$
即A（0，1），B（$\sqrt{3}$，0），線段AB的中點為M$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$，則
以線段AB為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程為 $（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=1．

點評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、三角函數(shù)求值、中點坐標(biāo)公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．