Question

已知圓C：x²+y²+4x=0，相互垂直的兩條直線l₁、l₂都過點A（t，0）．
（Ⅰ）若圓心為M（

1

2

，m）的圓和圓C外切且與直線x=2相切，求圓M的方程；
（Ⅱ）若l₁、l₂截圓C所得的弦長均為

14

，求t的值．

Answer 1

分析：（I）確定圓心與半徑，利用圓心為M（

1

2

，m）的圓和圓C外切且與直線x=2相切，建立方程組，即可求圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，利用l₁、l₂截圓C所得的弦長均為

14

，建立方程，即可求t的值．

解答：解：圓C：x²+y²+4x=0，即（x+2）²+y²=4，圓心為（-2，0），半徑為2．…（1分）
（Ⅰ）設(shè)圓M的方程為(x-

1

2

)2+(y-m)2=r2…（2分）
依題意得

2- 1 2 =r ( 1 2 +2)2+m2=(2+r)2

…（4分）
解得

m= 6 r= 3 2

或

m=- 6 r= 3 2

…（6分）
∴圓M的方程為(x-

1

2

)2+(y-

6

)2=

9

4

或(x-

1

2

)2+(y+

6

)2=

9

4

．…（7分）
（Ⅱ）顯然，l₁、l₂的斜率都是存在的，設(shè)l₁：y=k（x-t），則l2：y=-

1

k

(x-t)…（8分）
則由題意，得圓心到直線l₁、l₂的距離均為

22-( 14 2 )2

=

2

2

…（9分）
∴

|2k+tk|

k2+1

=

2

2

，

|2+t|

k2+1

=

2

2

…（11分）
解得|k|=1…（12分）
即|t+2|=1，解得t=-3或-1  …（14分）

點評：本題考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．