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設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)兩焦點為F1，F2，若橢圓上存在點P，使得PF1⊥PF2，則橢圓離心率的取值范圍為
[
2
2
，1）
[
2
2
，1）
．
分析：根據題意，可得以F1F2為直徑的圓與橢圓C有公共點，因此橢圓短軸的頂點在該圓上或在該圓的內部．由此建立關于a、b、c的不等關系，化簡解出a≤
2
c，即可得出橢圓C的離心率的取值范圍．
解答：解：∵點P滿足PF1⊥PF2，
∴點P的軌跡是以F1F2為直徑的圓，其方程為x2+y2=c2．
又∵橢圓上存在點P，使得PF1⊥PF2，
∴以F1F2為直徑的圓與橢圓C有公共點，
由此可得橢圓短軸的頂點在圓上或在圓的內部，
∴b≤c，即
a2-c2
≤c，化簡得a2≤2c2，解得a≤
2
c．
因此，橢圓C的離心率e=
c
a
≥
2
2
．
∵橢圓離心率在（0，1）之間取值，
∴橢圓C的離心率e∈[
2
2
，1）．
故答案為：[
2
2
，1）
點評：本題給出橢圓上存在點P，使點P對兩個焦點的張角為直角，求橢圓離心率的取值范圍．著重考查了橢圓的基本概念與簡單幾何性質、直線的位置關系與圓的定義與標準方程等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設N與M關于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，若P 是橢圓上的一點，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內該橢圓上的一點，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標；
（3）設過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．

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