Question

已知函數(shù)y=ax²+b|x|+c（a≠0）在其定義域內(nèi)有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，且a，b，c∈{-2，-1，0，1，2，3，4}，在這些函數(shù)中，設(shè)隨機(jī)變量ξ=“|a-b|的取值”，則ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ為（　　）

• A、4
• B、

  29

  5

• C、

  2

  5

• D、

  8

  9

Answer 1

分析：要使函數(shù)在R上有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，則在（-∞，0）和[0，+∞）內(nèi)各有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，據(jù)此利用組合數(shù)公式求得拋物線條數(shù)，寫出ξ分布列即可．

解答：解：函數(shù)y=ax²+b|x|+c（a≠0）在其定義域R內(nèi)是偶函數(shù)，
關(guān)于y軸對稱，且y=

ax2+bx+c(x≥0) ax2-bx+c(x＜0)

，
要使函數(shù)在R上有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，則在（-∞，0）和[0，+∞）內(nèi)各有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，
故-

b

2a

＞0即對稱軸在y軸右側(cè)，這樣的拋物線有2 C₂¹C₄¹C₇¹=112條，由ξ=|a-b|，
可知ξ可取的值有2，3，4，5，6，得P(ξ=2)=

2×7

112

，P(ξ=3)=

4×7

112

，P(ξ=4)=

4×7

112

，P(ξ=5)=

4×7

112

，P(ξ=6)=

2×7

112

，Eξ=2×

2×7

112

+3×

4×7

112

+4×

4×7

112

+5×

4×7

112

+6×

2×7

112

=

2×7

112

×(2+6+8+10+6)=4，
故選A．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線、排列組合與概率統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用．本題關(guān)鍵是懂得利用組合數(shù)公式求得拋物線條數(shù)，寫出ξ分布列即可．