Question

1．已知a＞0，a≠1，求使關(guān)于x的方程$1o{g_{\sqrt{a}}}（x-2ka）=1o{g_a}（{x^2}-{a^2}）$有解時(shí)k的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意把原方程化為$\left\{\begin{array}{l}{（x-2ak）^{2}={x}^{2}-{a}^{2}，（1）}\\{x-2ak＞0，（2）}\\{{x}^{2}-{a}^{2}＞0，（3）}\end{array}\right.$，進(jìn)一步得到$\left\{\begin{array}{l}{（x-2ak）^{2}={x}^{2}-{a}^{2}，（1）}\\{x-2ak＞0，（2）}\end{array}\right.$，由（1）求得x，代入（2）轉(zhuǎn)化為k的不等式求解．

解答 解：由$1o{g_{\sqrt{a}}}（x-2ka）=1o{g_a}（{x^2}-{a^2}）$，得
$\left\{\begin{array}{l}{（x-2ak）^{2}={x}^{2}-{a}^{2}，（1）}\\{x-2ak＞0，（2）}\\{{x}^{2}-{a}^{2}＞0，（3）}\end{array}\right.$當(dāng)（1），（2）同時(shí)成立時(shí)，（3）顯然成立，
因此只需解$\left\{\begin{array}{l}{（x-2ak）^{2}={x}^{2}-{a}^{2}，（1）}\\{x-2ak＞0，（2）}\end{array}\right.$
由（1）得4kx=a（1+4k²），（4）
當(dāng)k=0時(shí)，由a＞0知（4）無解，因而原方程無解；
當(dāng)k≠0時(shí)，（4）的解是x=$\frac{a（1+4{k}^{2}）}{4k}$，（5）
把（5）代入（2），得$\frac{（1+4{k}^{2}）}{4k}＞2k$．
解得：k＜-$\frac{1}{2}$或0＜k＜$\frac{1}{2}$．
綜上，k的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．