Question

16．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為AB的中點，AA₁=4，AB=6，則異面直線B₁D與AC₁所成角的余弦值為$\frac{5\sqrt{13}}{26}$．

Answer 1

分析 直接找異面直線所成的角不好找，所以可以考慮用向量解決，去求向量$\overrightarrow{{B}_{1}D}$和向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$的夾角，通過圖形知道$\overrightarrow{A{C}_{1}}=\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}D}=-\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$，所以根據(jù)已知的邊角的大小及數(shù)量積的運算求$\sqrt{（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}）^{2}}$，$\sqrt{（-\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}）^{2}}$，$（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}）•（-\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}）$，這樣根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出向量$\overrightarrow{{B}_{1}D}$和向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$夾角的余弦，根據(jù)異面直線所成角的范圍，從而得出要求的異面直線夾角的余弦值．

解答 解：如圖，
$\overrightarrow{{AC}_{1}}=\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}D}=-\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$；
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}D}$=$-{\overrightarrow{A{A}_{1}}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{BA}$$-\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{BA}$=-16+0-0-9=-25；
$|\overrightarrow{A{C}_{1}}|=\sqrt{（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}）^{2}}=\sqrt{16+0+36}=2\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{{B}_{1}D}|=\sqrt{（-\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}）^{2}}$=$\sqrt{16+0+9}=5$；
$cos＜\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{{B}_{1}D}＞=\frac{-25}{2\sqrt{13}•5}$=$-\frac{5\sqrt{13}}{26}$；
∴異面直線B₁D和AC₁所成角的余弦值為$\frac{5\sqrt{13}}{26}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{13}}{26}$．

點評 考查向量加法的幾何意義，共線向量，兩非零向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的運算，利用|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$求向量$\overrightarrow{a}$的長度，向量夾角余弦的計算公式，異面直線所成角的范圍．