已知函數(shù)f（x）=ax+blnx．
（1）當x=2時f（x）取得極小值2-2ln2，求a，b的值；
（2）當b=-1時，若在區(qū)間（0，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

解：（1）求導函數(shù)可得：f'（x）=a+
∵當x=2時，f（x）取得極小值2-2ln2，
∴f'（2）=0，f（2）=2-2ln2
∴2a+b=0，2a+bln2=2-2ln2
∴a=1，b=-2
此時f'（x）=1-
當x∈（0，2）時，f'（x）＜0；當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0
∴當x=2時，f（x）取得極小值
∴a=1，b=-2
（2）b=-1時，f（x）=ax-lnx，求導函數(shù)可得f'（x）=a-=
若在區(qū)間（0，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＜0成立，則f（x）=ax-lnx在區(qū)間（0，e]上的最小值＜0
①當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，f（x）在區(qū)間（0，e]上遞減
由f（x）min=f（e）=ae-1＜0得a＜，∴a≤0符合題意
②當0＜＜e，即a＞時，x∈（0，），f'（x）＜0，f（x）遞減；x∈（，e），f'（x）＞0，f（x）遞增
∴f（x）min=f（）=1-ln=1+lna
由lna+1＜0得a＜，矛盾
③當≥e，即0＜a≤時，f（x）在（0，e]上為減函數(shù)，f（x）min=f（e）=ae-1＜0
∴0＜a＜
綜上所述，符合條件的a的取值范圍是a＜．
分析：（1）求導函數(shù)，利用當x=2時，f（x）取得極小值2-2ln2，建立方程，即可求得a，b的值；
（2）b=-1時，f（x）=ax-lnx，求導函數(shù)可得f'（x）=a-=，若在區(qū)間（0，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＜0成立，則f（x）=ax-lnx在區(qū)間（0，e]上的最小值＜0，分類討論：①當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，f（x）在區(qū)間（0，e]上遞減，符合題意；②當0＜＜e，即a＞時，f（x）min=f（）=1-ln=1+lna，可得不成立；③當≥e，即0＜a≤時，f（x）在（0，e]上為減函數(shù)，由此可得a的取值范圍．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學思想，解題的關(guān)鍵是正確求導，合理分類．
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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34
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（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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2x
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-f(x) ，    x＜0
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．

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