Question

15．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，且點(diǎn)（-$\frac{π}{4}$，0）是它的一個(gè)對(duì)稱中心．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若φ（x）=f（-x），求φ（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）若f（ax）（a＞0）在（0，$\frac{π}{3}$）上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心求φ，可得函數(shù)的解析式．
（2）再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得φ（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）利用余弦函數(shù)的減區(qū)間求得a的最大值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=2•$\frac{π}{2}$，求得ω=1．
∵點(diǎn)（-$\frac{π}{4}$，0）是它的一個(gè)對(duì)稱中心，∴2$\sqrt{3}$sin[2•（-$\frac{π}{4}$）+φ]=0，∴φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2$\sqrt{3}$cos2x．
（2）∵φ（x）=f（-x）=2$\sqrt{3}$cos（-2x）=2$\sqrt{3}$cos2x，令 2kπ-π≤2x≤2kπ，求得kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤kπ，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ]，k∈Z．
（3）若f（ax）=2$\sqrt{3}$cos2ax （a＞0）在（0，$\frac{π}{3}$）上是單調(diào)遞減函數(shù)，則2a•$\frac{π}{3}$≤π，∴a≤$\frac{3}{2}$，即a的最大值為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由對(duì)稱中心求φ，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．