Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
（1）設(shè)a=2，函數(shù)g（x）的定義域?yàn)閇-63，-3]，求g（x）的最值；
（2）求使f（x）＞g（x）的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求函數(shù)的最值；（2）要按a＞1和0＜a＜1分類討論，把解對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式組．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，g（x）=log₂（1-x），
在[-63，-3]上為減函數(shù)，因此當(dāng)x=-3時(shí)，g（x）的最小值為2，
當(dāng)x=-63時(shí)，g（x）的最大值為6．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，log_a（1+x）＞log_a（1-x），
滿足

1+x＞1-x 1+x＞0 1-x＞0

∴0＜x＜1
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_a（1+x）＞log_a（1-x），
滿足

1+x＜1-x 1+x＞0 1-x＞0

∴-1＜x＜0
綜上：當(dāng)a＞1時(shí)，解集為{x|0＜x＜1}，
     當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為{x|-1＜x＜0}．

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值和值域是常用的一種方法；在解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)含有字母時(shí)要按底數(shù)進(jìn)行分類討論，在轉(zhuǎn)化不等式時(shí)要注意真數(shù)大于0．