Question

13．已知函數(shù)f（x）=xe^x-ax²-x；
（1）若f（x）在x=-1處取得極值，求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），得到f′（-1）=0，解出即可；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，轉(zhuǎn)化為a＜$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，（x＞1），則利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最小值，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=（x+1）e^x-2ax-1，
若f（x）在x=-1處取得極值，則f′（-1）=2a-1=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
故f（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x，f′（x）=（x+1）e^x-x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
∴f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（2）x＞1時(shí)，f（x）=xe^x-ax²-x＞0，即a＜$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，（x＞1）
∴g′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}+1}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（1，+∞）遞增，
g（x）＞g（1）=e-1，
∴a≤e-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離的方法解決，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題，涉及了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題．