Question

函數f（x）=x³+ax與f（x）=bx²+c
（1）若點P（1，0）是函數與f（x）與g（x）的圖象的一個公共點，且兩函數的圖象在點P處有相同的切線，求a，b，c
（2）若函數y=f（x）點（1，f（1））處的切線為1，若l與圓C：x2+y2=

1

4

相切，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用求導法則分別求出函數f（x）和g（x）的導函數，根據題意得到f'（1）=g′（1），代入后得到關系式，記作①
式，把P坐標代入f（x）得到關系式，記作②式，把P坐標代入g（x）得到關系式，記作③式，三式聯立求出a，b及c的值即可；
（2）把x=1代入f（x）表示出f（1），進而表示出切點的坐標，把x=1代入導函數中求出的導函數值即為切線的斜率，由切點坐標和斜率寫出切線的方程，然后由圓的標準方程找出圓心坐標和圓的半徑，根據圓心到切線l的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解，即可得到a的值．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+a，g′（x）=2bx，
由f'（1）=g′（1）得：3+a=2b①，
由已知得：1+a=0②，b+c=0③，
解得：a=-1，b=-1，c=-1；
（2）f（1）=1+a，k=f′（1）=3+a，
∴l(xiāng)方程為（a+3）x-y-2=0，
∵l與圓相切，
∴

|-2|

(a+3)2+1

=

1

2

則a=-3±

15

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：求導法則，利用導數研究曲線上某點的切線方程，點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，其中切點橫坐標所對應的導函數值為切線方程的斜率，直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握以上性質是解本題的關鍵．