Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E為PD中點．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的大��；
（Ⅲ）若F為線段BC的中點，求點D到平面PAF的距離．

Answer 1

分析：（I）由題意及正方形的特點，利用BC⊥AB，BC⊥PB得到BC⊥平面PAB，進而得到BC⊥PA，在利用CD⊥PA，得到線面垂直；
（II）由題意及圖形，利用三垂線定理得到二面角的平面角，并在三角形中解出即可；
（III）由PA⊥平面ABCD，得到平面PAF⊥平面ABCD，進而得到DG⊥平面PAF，然后利用△ABF與△DGA相似，求出點D到平面PAF的距離．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵底面ABCD為正方形，
∴BC⊥AB，又BC⊥PB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：設M為AD中點，連接EM，
又E為PD中點，
可得EM∥PA，從而EM⊥底面ABCD．
過M作AC的垂線MN，垂足為N，連接EN．
由三垂線定理有EN⊥AC，
∴∠ENM為二面角E-AC-D的平面角．
在Rt△EMN中，可求得EM=1，MN=

2

2

，
∴tanENM=

EM

MN

=

2

．
∴二面角E-AC-D的大小為arctan

2

．
（Ⅲ）解：過D做AF的垂線DG，垂足為G，
∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAF⊥平面ABCD，
∴DG⊥平面PAF，
∴DG為點D到平面PAF的距離，
由F為BC中點，可得AF=

5

．
又△ABF與△DGA相似，
可得

AB

AF

=

DG

DA

，
∴DG=

AB•DA

AF

=

2•2

5

=

4 5

5

．
即點D到平面PAF的距離為

4 5

5

．

點評：此題重點考查了線線垂直，線面垂直的判定與性質；還考查了利用三垂線定理求解出二面角的平面角一常用方法；還考查了利用反三角函數的知識表示角的大小；在計算第三問的距離是還考查了利用三角形的相似解出線段長度．