Question

在正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P．問(wèn)：
①依據(jù)題意畫出這個(gè)幾何體；
②這個(gè)幾何體由哪幾個(gè)面構(gòu)成，每個(gè)面的三角形是什么三角形；
③若正方形邊長(zhǎng)為2a，則每個(gè)面的三角形面積為多少．

Answer 1

分析：①這個(gè)幾何體是一個(gè)四邊體；
②這個(gè)幾何體由四個(gè)面構(gòu)成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP．由平幾知識(shí)，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，從而判斷△DEF，△DFP、△EFP、△DEP的形狀．
③由②可知，DE=DF=

5

a，EF=

2

a，利用三角形的面積公式即可求得每個(gè)面的三角形面積．

解答：解：①如圖所示．
②這個(gè)幾何體由四個(gè)面構(gòu)成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP．
由平幾知識(shí)可知DE=DF，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，
所以△DEF為等腰三角形，△DFP、△EFP、△DEP為直角三角形．
③由②可知，DE=DF=

5

a，EF=

2

a，所以，S_△DEF=

3

2

a²．DP=2a，EP=FP=a，
所以S_△DPE=S_△DPF=a²，S_△EPF=

1

2

a²．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，三角形面積和線面關(guān)系等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．